9.5. 循环神经网络的从零开始实现¶
本节将根据 9.4节中的描述， 从头开始基于循环神经网络实现字符级语言模型。 这样的模型将在H.G.Wells的时光机器数据集上训练。 和前面 9.3节中介绍过的一样， 我们先读取数据集。
import math
import mlx
import mlx.core as mx
import mlx.nn as nn
import mlx.optimizers as optim
from mlx.utils import tree_map, tree_reduce
from d2l import mlx as d2l
batch_size, num_steps = 32, 35
train_iter, vocab = d2l.load_data_time_machine(batch_size, num_steps)
9.5.1. 独热编码¶
回想一下，在train_iter中，每个词元都表示为一个数字索引，
将这些索引直接输入神经网络可能会使学习变得困难。
我们通常将每个词元表示为更具表现力的特征向量。
最简单的表示称为独热编码（one-hot encoding）， 它在
4.4.1节中介绍过。
简言之，将每个索引映射为相互不同的单位向量：
假设词表中不同词元的数目为\(N\)（即len(vocab)），
词元索引的范围为\(0\)到\(N-1\)。
如果词元的索引是整数\(i\)，
那么我们将创建一个长度为\(N\)的全\(0\)向量，
并将第\(i\)处的元素设置为\(1\)。
此向量是原始词元的一个独热向量。
索引为\(0\)和\(2\)的独热向量如下所示：
def one_hot(array, num_classes): #@save
"""Defined in :numref:`sec_rnn-scratch`"""
original_shape = array.shape
array = array.reshape((-1,))
one_hot_matrix = mx.zeros((array.shape[0], num_classes))
one_hot_matrix[mx.arange(array.shape[0]), array] = 1
one_hot_matrix = one_hot_matrix.reshape((*original_shape, num_classes))
return one_hot_matrix
one_hot(mx.array([0, 2]), len(vocab))
array([[1, 0, 0, ..., 0, 0, 0],
[0, 0, 1, ..., 0, 0, 0]], dtype=float32)
我们每次采样的小批量数据形状是二维张量： （批量大小，时间步数）。
one_hot函数将这样一个小批量数据转换成三维张量，
张量的最后一个维度等于词表大小（len(vocab)）。
我们经常转换输入的维度，以便获得形状为
（时间步数，批量大小，词表大小）的输出。
这将使我们能够更方便地通过最外层的维度，
一步一步地更新小批量数据的隐状态。
X = mx.arange(10).reshape((2, 5))
one_hot(X.T, num_classes=28).shape
(5, 2, 28)
9.5.2. 初始化模型参数¶
接下来，我们初始化循环神经网络模型的模型参数。
隐藏单元数num_hiddens是一个可调的超参数。
当训练语言模型时，输入和输出来自相同的词表。
因此，它们具有相同的维度，即词表的大小。
def get_params(vocab_size, num_hiddens):
num_inputs = num_outputs = vocab_size
def normal(shape):
return mx.random.normal(shape) * 0.01
# 隐藏层参数
W_xh = normal((num_inputs, num_hiddens))
W_hh = normal((num_hiddens, num_hiddens))
b_h = mx.zeros(num_hiddens)
# 输出层参数
W_hq = normal((num_hiddens, num_outputs))
b_q = mx.zeros(num_outputs)
params = [W_xh, W_hh, b_h, W_hq, b_q]
return params
9.5.3. 循环神经网络模型¶
为了定义循环神经网络模型，
我们首先需要一个init_rnn_state函数在初始化时返回隐状态。
这个函数的返回是一个张量，张量全用0填充，
形状为（批量大小，隐藏单元数）。
在后面的章节中我们将会遇到隐状态包含多个变量的情况，
而使用元组可以更容易地处理些。
def init_rnn_state(batch_size, num_hiddens):
return (mx.zeros((batch_size, num_hiddens)), )
下面的rnn函数定义了如何在一个时间步内计算隐状态和输出。
循环神经网络模型通过inputs最外层的维度实现循环，
以便逐时间步更新小批量数据的隐状态H。
此外，这里使用\(\tanh\)函数作为激活函数。 如
5.1节所述，
当元素在实数上满足均匀分布时，\(\tanh\)函数的平均值为0。
def rnn(inputs, state, params):
# inputs的形状：(时间步数量，批量大小，词表大小)
W_xh, W_hh, b_h, W_hq, b_q = params
H, = state
outputs = []
# X的形状：(批量大小，词表大小)
for X in inputs:
H = mx.tanh(mx.matmul(X, W_xh) + mx.matmul(H, W_hh) + b_h)
Y = mx.matmul(H, W_hq) + b_q
outputs.append(Y)
return mx.concatenate(outputs, axis=0), (H,)
定义了所有需要的函数之后，接下来我们创建一个类来包装这些函数， 并存储从零开始实现的循环神经网络模型的参数。
class RNNModelScratch(nn.Module): #@save
"""从零开始实现的循环神经网络模型"""
def __init__(self, vocab_size, num_hiddens,
get_params, init_state, forward_fn):
self.vocab_size, self.num_hiddens = vocab_size, num_hiddens
self.params = get_params(vocab_size, num_hiddens)
self.init_state, self.forward_fn = init_state, forward_fn
self._no_grad = set()
def __call__(self, X, state):
X = one_hot(X.T, self.vocab_size)
return self.forward_fn(X, state, self.params)
def begin_state(self, batch_size):
return self.init_state(batch_size, self.num_hiddens)
让我们检查输出是否具有正确的形状。 例如，隐状态的维数是否保持不变。
num_hiddens = 512
net = RNNModelScratch(len(vocab), num_hiddens, get_params,
init_rnn_state, rnn)
state = net.begin_state(X.shape[0])
Y, new_state = net(X, state)
Y.shape, len(new_state), new_state[0].shape
((10, 28), 1, (2, 512))
我们可以看到输出形状是（时间步数\(\times\)批量大小，词表大小）， 而隐状态形状保持不变，即（批量大小，隐藏单元数）。
9.5.4. 预测¶
让我们首先定义预测函数来生成prefix之后的新字符，
其中的prefix是一个用户提供的包含多个字符的字符串。
在循环遍历prefix中的开始字符时，
我们不断地将隐状态传递到下一个时间步，但是不生成任何输出。
这被称为预热（warm-up）期，
因为在此期间模型会自我更新（例如，更新隐状态）， 但不会进行预测。
预热期结束后，隐状态的值通常比刚开始的初始值更适合预测，
从而预测字符并输出它们。
def predict_ch8(prefix, num_preds, net, vocab): #@save
"""在prefix后面生成新字符"""
state = net.begin_state(batch_size=1)
outputs = [vocab[prefix[0]]]
get_input = lambda: mx.array([outputs[-1]]).reshape((1, 1))
for y in prefix[1:]: # 预热期
_, state = net(get_input(), state)
outputs.append(vocab[y])
for _ in range(num_preds): # 预测num_preds步
y, state = net(get_input(), state)
pred = mx.argmax(y, axis=1).item()
outputs.append(pred)
return ''.join([vocab.idx_to_token[i] for i in outputs])
现在我们可以测试predict_ch8函数。
我们将前缀指定为time traveller，
并基于这个前缀生成10个后续字符。
鉴于我们还没有训练网络，它会生成荒谬的预测结果。
predict_ch8('time traveller ', 10, net, vocab)
'time traveller wlqqqqqqqq'
9.5.5. 梯度裁剪¶
对于长度为\(T\)的序列，我们在迭代中计算这\(T\)个时间步上的梯度， 将会在反向传播过程中产生长度为\(\mathcal{O}(T)\)的矩阵乘法链。 如 5.8节所述， 当\(T\)较大时，它可能导致数值不稳定， 例如可能导致梯度爆炸或梯度消失。 因此，循环神经网络模型往往需要额外的方式来支持稳定训练。
一般来说，当解决优化问题时，我们对模型参数采用更新步骤。 假定在向量形式的\(\mathbf{x}\)中， 或者在小批量数据的负梯度\(\mathbf{g}\)方向上。 例如，使用\(\eta > 0\)作为学习率时，在一次迭代中， 我们将\(\mathbf{x}\)更新为\(\mathbf{x} - \eta \mathbf{g}\)。 如果我们进一步假设目标函数\(f\)表现良好， 即函数\(f\)在常数\(L\)下是利普希茨连续的（Lipschitz continuous）。 也就是说，对于任意\(\mathbf{x}\)和\(\mathbf{y}\)我们有：
在这种情况下，我们可以安全地假设： 如果我们通过\(\eta \mathbf{g}\)更新参数向量，则
这意味着我们不会观察到超过\(L \eta \|\mathbf{g}\|\)的变化。 这既是坏事也是好事。 坏的方面，它限制了取得进展的速度； 好的方面，它限制了事情变糟的程度，尤其当我们朝着错误的方向前进时。
有时梯度可能很大，从而优化算法可能无法收敛。 我们可以通过降低\(\eta\)的学习率来解决这个问题。 但是如果我们很少得到大的梯度呢？ 在这种情况下，这种做法似乎毫无道理。 一个流行的替代方案是通过将梯度\(\mathbf{g}\)投影回给定半径 （例如\(\theta\)）的球来裁剪梯度\(\mathbf{g}\)。 如下式：
通过这样做，我们知道梯度范数永远不会超过\(\theta\)， 并且更新后的梯度完全与\(\mathbf{g}\)的原始方向对齐。 它还有一个值得拥有的副作用， 即限制任何给定的小批量数据（以及其中任何给定的样本）对参数向量的影响， 这赋予了模型一定程度的稳定性。 梯度裁剪提供了一个快速修复梯度爆炸的方法， 虽然它并不能完全解决问题，但它是众多有效的技术之一。
下面我们定义一个函数来裁剪模型的梯度， 模型是从零开始实现的模型或由高级API构建的模型。 我们在此计算了所有模型参数的梯度的范数。
def grad_clipping(net, grads, theta): #@save
"""裁剪梯度"""
if isinstance(net, nn.Module):
clipped_grads, _ = optim.clip_grad_norm(grads, max_norm=theta)
return clipped_grads
else:
norm_squared = tree_reduce(lambda acc, g: acc + g.square().sum(), grads, 0.0)
total_norm = mx.sqrt(norm_squared)
normalizer = theta / (total_norm + 1e-6)
def clipper(g):
return mx.where(total_norm < theta, g, g * normalizer)
clipped_grads = tree_map(clipper, grads)
return clipped_grads, total_norm
9.5.6. 训练¶
在训练模型之前，让我们定义一个函数在一个迭代周期内训练模型。 它与我们训练 4.6节模型的方式有三个不同之处。
序列数据的不同采样方法（随机采样和顺序分区）将导致隐状态初始化的差异。
我们在更新模型参数之前裁剪梯度。 这样的操作的目的是，即使训练过程中某个点上发生了梯度爆炸，也能保证模型不会发散。
我们用困惑度来评价模型。如 9.4.4节所述， 这样的度量确保了不同长度的序列具有可比性。
具体来说，当使用顺序分区时， 我们只在每个迭代周期的开始位置初始化隐状态。 由于下一个小批量数据中的第\(i\)个子序列样本 与当前第\(i\)个子序列样本相邻， 因此当前小批量数据最后一个样本的隐状态， 将用于初始化下一个小批量数据第一个样本的隐状态。 这样，存储在隐状态中的序列的历史信息 可以在一个迭代周期内流经相邻的子序列。 然而，在任何一点隐状态的计算， 都依赖于同一迭代周期中前面所有的小批量数据， 这使得梯度计算变得复杂。 为了降低计算量，在处理任何一个小批量数据之前， 我们先分离梯度，使得隐状态的梯度计算总是限制在一个小批量数据的时间步内。
当使用随机抽样时，因为每个样本都是在一个随机位置抽样的，
因此需要为每个迭代周期重新初始化隐状态。 与
4.6节中的 train_epoch_ch3函数相同，
updater是更新模型参数的常用函数。
它既可以是从头开始实现的d2l.sgd函数，
也可以是深度学习框架中内置的优化函数。
#@save
def train_epoch_ch8(net, train_iter, loss, updater, use_random_iter):
"""训练网络一个迭代周期（定义见第8章）"""
state, timer = None, d2l.Timer()
metric = d2l.Accumulator(2) # 训练损失之和,词元数量
if isinstance(net, nn.Module):
net.train(True)
for X, y in train_iter:
if state is None or use_random_iter:
# 在第一次迭代或使用随机抽样时初始化state
state = net.begin_state(batch_size=X.shape[0])
def loss_fn(net, X, state, y):
y_hat, state = net(X, state)
y = y.T.reshape((-1,))
return loss(y_hat, y, reduction="mean")
loss_and_grad_fn = nn.value_and_grad(net, loss_fn)
l, grad = loss_and_grad_fn(net, X, state, y)
grad = grad_clipping(net, grad, 1)
updater.update(net, grad)
_,state = net(X, state)
mx.eval(net.parameters())
metric.add(l.item() * y.size, y.size)
return math.exp(metric[0] / metric[1]), metric[1] / timer.stop()
循环神经网络模型的训练函数既支持从零开始实现， 也可以使用高级API来实现。
#@save
def train_ch8(net, train_iter, vocab, lr, num_epochs, use_random_iter=False):
"""训练模型（定义见第8章）"""
loss = nn.losses.cross_entropy
animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', ylabel='perplexity',
legend=['train'], xlim=[10, num_epochs])
# 初始化
if isinstance(net, nn.Module):
updater = optim.SGD(learning_rate=lr)
else:
updater = lambda batch_size: d2l.sgd(net.params, lr, batch_size)
predict = lambda prefix: predict_ch8(prefix, 50, net, vocab)
# 训练和预测
for epoch in range(num_epochs):
ppl, speed = train_epoch_ch8(net, train_iter, loss, updater, use_random_iter)
if (epoch + 1) % 10 == 0:
print(predict('time traveller'))
animator.add(epoch + 1, [ppl])
print(f'困惑度 {ppl:.1f}, {speed:.1f} 词元/秒')
print(predict('time traveller'))
print(predict('traveller'))
现在，我们训练循环神经网络模型。 因为我们在数据集中只使用了10000个词元， 所以模型需要更多的迭代周期来更好地收敛。
num_epochs, lr = 500, 1
train_ch8(net, train_iter, vocab, lr, num_epochs)
困惑度 1.0, 73035.4 词元/秒
time traveller for so it will be convenient to speak of himwas e
travelleryou can show black is white by argument said filby
最后，让我们检查一下使用随机抽样方法的结果。
net = RNNModelScratch(len(vocab), num_hiddens, get_params,
init_rnn_state, rnn)
train_ch8(net, train_iter, vocab, lr, num_epochs, use_random_iter=True)
困惑度 1.4, 76566.8 词元/秒
time traveller held in his hand was a glitteringmetallic framewo
travellerit s against reason said filbywhal uxoficby is all
从零开始实现上述循环神经网络模型， 虽然有指导意义，但是并不方便。 在下一节中，我们将学习如何改进循环神经网络模型。 例如，如何使其实现地更容易，且运行速度更快。
9.5.7. 小结¶
我们可以训练一个基于循环神经网络的字符级语言模型，根据用户提供的文本的前缀生成后续文本。
一个简单的循环神经网络语言模型包括输入编码、循环神经网络模型和输出生成。
循环神经网络模型在训练以前需要初始化状态，不过随机抽样和顺序划分使用初始化方法不同。
当使用顺序划分时，我们需要分离梯度以减少计算量。
在进行任何预测之前，模型通过预热期进行自我更新（例如，获得比初始值更好的隐状态）。
梯度裁剪可以防止梯度爆炸，但不能应对梯度消失。
9.5.8. 练习¶
尝试说明独热编码等价于为每个对象选择不同的嵌入表示。
通过调整超参数（如迭代周期数、隐藏单元数、小批量数据的时间步数、学习率等）来改善困惑度。
困惑度可以降到多少？
用可学习的嵌入表示替换独热编码，是否会带来更好的表现？
如果用H.G.Wells的其他书作为数据集时效果如何， 例如世界大战？
修改预测函数，例如使用采样，而不是选择最有可能的下一个字符。
会发生什么？
调整模型使之偏向更可能的输出，例如，当\(\alpha > 1\)，从\(q(x_t \mid x_{t-1}, \ldots, x_1) \propto P(x_t \mid x_{t-1}, \ldots, x_1)^\alpha\)中采样。
在不裁剪梯度的情况下运行本节中的代码会发生什么？
更改顺序划分，使其不会从计算图中分离隐状态。运行时间会有变化吗？困惑度呢？
用ReLU替换本节中使用的激活函数，并重复本节中的实验。我们还需要梯度裁剪吗？为什么？