.. _sec_rnn_scratch: 循环神经网络的从零开始实现 ========================== 本节将根据 :numref:`sec_rnn`\ 中的描述， 从头开始基于循环神经网络实现字符级语言模型。 这样的模型将在H.G.Wells的时光机器数据集上训练。 和前面 :numref:`sec_language_model`\ 中介绍过的一样， 我们先读取数据集。 .. raw:: latex \diilbookstyleinputcell .. code:: ipython3 import math import mlx import mlx.core as mx import mlx.nn as nn import mlx.optimizers as optim from mlx.utils import tree_map, tree_reduce from d2l import mlx as d2l .. raw:: latex \diilbookstyleinputcell .. code:: ipython3 batch_size, num_steps = 32, 35 train_iter, vocab = d2l.load_data_time_machine(batch_size, num_steps) 独热编码 -------- 回想一下，在\ ``train_iter``\ 中，每个词元都表示为一个数字索引， 将这些索引直接输入神经网络可能会使学习变得困难。 我们通常将每个词元表示为更具表现力的特征向量。 最简单的表示称为\ *独热编码*\ （one-hot encoding）， 它在 :numref:`subsec_classification-problem`\ 中介绍过。 简言之，将每个索引映射为相互不同的单位向量： 假设词表中不同词元的数目为\ :math:`N`\ （即\ ``len(vocab)``\ ）， 词元索引的范围为\ :math:`0`\ 到\ :math:`N-1`\ 。 如果词元的索引是整数\ :math:`i`\ ， 那么我们将创建一个长度为\ :math:`N`\ 的全\ :math:`0`\ 向量， 并将第\ :math:`i`\ 处的元素设置为\ :math:`1`\ 。 此向量是原始词元的一个独热向量。 索引为\ :math:`0`\ 和\ :math:`2`\ 的独热向量如下所示： .. raw:: latex \diilbookstyleinputcell .. code:: ipython3 def one_hot(array, num_classes): #@save """Defined in :numref:`sec_rnn-scratch`""" original_shape = array.shape array = array.reshape((-1,)) one_hot_matrix = mx.zeros((array.shape[0], num_classes)) one_hot_matrix[mx.arange(array.shape[0]), array] = 1 one_hot_matrix = one_hot_matrix.reshape((*original_shape, num_classes)) return one_hot_matrix one_hot(mx.array([0, 2]), len(vocab)) .. raw:: latex \diilbookstyleoutputcell .. parsed-literal:: :class: output array([[1, 0, 0, ..., 0, 0, 0], [0, 0, 1, ..., 0, 0, 0]], dtype=float32) 我们每次采样的小批量数据形状是二维张量： （批量大小，时间步数）。 ``one_hot``\ 函数将这样一个小批量数据转换成三维张量， 张量的最后一个维度等于词表大小（\ ``len(vocab)``\ ）。 我们经常转换输入的维度，以便获得形状为 （时间步数，批量大小，词表大小）的输出。 这将使我们能够更方便地通过最外层的维度， 一步一步地更新小批量数据的隐状态。 .. raw:: latex \diilbookstyleinputcell .. code:: ipython3 X = mx.arange(10).reshape((2, 5)) one_hot(X.T, num_classes=28).shape .. raw:: latex \diilbookstyleoutputcell .. parsed-literal:: :class: output (5, 2, 28) 初始化模型参数 -------------- 接下来，我们初始化循环神经网络模型的模型参数。 隐藏单元数\ ``num_hiddens``\ 是一个可调的超参数。 当训练语言模型时，输入和输出来自相同的词表。 因此，它们具有相同的维度，即词表的大小。 .. raw:: latex \diilbookstyleinputcell .. code:: ipython3 def get_params(vocab_size, num_hiddens): num_inputs = num_outputs = vocab_size def normal(shape): return mx.random.normal(shape) * 0.01 # 隐藏层参数 W_xh = normal((num_inputs, num_hiddens)) W_hh = normal((num_hiddens, num_hiddens)) b_h = mx.zeros(num_hiddens) # 输出层参数 W_hq = normal((num_hiddens, num_outputs)) b_q = mx.zeros(num_outputs) params = [W_xh, W_hh, b_h, W_hq, b_q] return params 循环神经网络模型 ---------------- 为了定义循环神经网络模型， 我们首先需要一个\ ``init_rnn_state``\ 函数在初始化时返回隐状态。 这个函数的返回是一个张量，张量全用0填充， 形状为（批量大小，隐藏单元数）。 在后面的章节中我们将会遇到隐状态包含多个变量的情况， 而使用元组可以更容易地处理些。 .. raw:: latex \diilbookstyleinputcell .. code:: ipython3 def init_rnn_state(batch_size, num_hiddens): return (mx.zeros((batch_size, num_hiddens)), ) 下面的\ ``rnn``\ 函数定义了如何在一个时间步内计算隐状态和输出。 循环神经网络模型通过\ ``inputs``\ 最外层的维度实现循环， 以便逐时间步更新小批量数据的隐状态\ ``H``\ 。 此外，这里使用\ :math:`\tanh`\ 函数作为激活函数。 如 :numref:`sec_mlp`\ 所述， 当元素在实数上满足均匀分布时，\ :math:`\tanh`\ 函数的平均值为0。 .. raw:: latex \diilbookstyleinputcell .. code:: ipython3 def rnn(inputs, state, params): # inputs的形状：(时间步数量，批量大小，词表大小) W_xh, W_hh, b_h, W_hq, b_q = params H, = state outputs = [] # X的形状：(批量大小，词表大小) for X in inputs: H = mx.tanh(mx.matmul(X, W_xh) + mx.matmul(H, W_hh) + b_h) Y = mx.matmul(H, W_hq) + b_q outputs.append(Y) return mx.concatenate(outputs, axis=0), (H,) 定义了所有需要的函数之后，接下来我们创建一个类来包装这些函数， 并存储从零开始实现的循环神经网络模型的参数。 .. raw:: latex \diilbookstyleinputcell .. code:: ipython3 class RNNModelScratch(nn.Module): #@save """从零开始实现的循环神经网络模型""" def __init__(self, vocab_size, num_hiddens, get_params, init_state, forward_fn): self.vocab_size, self.num_hiddens = vocab_size, num_hiddens self.params = get_params(vocab_size, num_hiddens) self.init_state, self.forward_fn = init_state, forward_fn self._no_grad = set() def __call__(self, X, state): X = one_hot(X.T, self.vocab_size) return self.forward_fn(X, state, self.params) def begin_state(self, batch_size): return self.init_state(batch_size, self.num_hiddens) 让我们检查输出是否具有正确的形状。 例如，隐状态的维数是否保持不变。 .. raw:: latex \diilbookstyleinputcell .. code:: ipython3 num_hiddens = 512 net = RNNModelScratch(len(vocab), num_hiddens, get_params, init_rnn_state, rnn) state = net.begin_state(X.shape[0]) Y, new_state = net(X, state) Y.shape, len(new_state), new_state[0].shape .. raw:: latex \diilbookstyleoutputcell .. parsed-literal:: :class: output ((10, 28), 1, (2, 512)) 我们可以看到输出形状是（时间步数\ :math:`\times`\ 批量大小，词表大小）， 而隐状态形状保持不变，即（批量大小，隐藏单元数）。 预测 ---- 让我们首先定义预测函数来生成\ ``prefix``\ 之后的新字符， 其中的\ ``prefix``\ 是一个用户提供的包含多个字符的字符串。 在循环遍历\ ``prefix``\ 中的开始字符时， 我们不断地将隐状态传递到下一个时间步，但是不生成任何输出。 这被称为\ *预热*\ （warm-up）期， 因为在此期间模型会自我更新（例如，更新隐状态）， 但不会进行预测。 预热期结束后，隐状态的值通常比刚开始的初始值更适合预测， 从而预测字符并输出它们。 .. raw:: latex \diilbookstyleinputcell .. code:: ipython3 def predict_ch8(prefix, num_preds, net, vocab): #@save """在prefix后面生成新字符""" state = net.begin_state(batch_size=1) outputs = [vocab[prefix[0]]] get_input = lambda: mx.array([outputs[-1]]).reshape((1, 1)) for y in prefix[1:]: # 预热期 _, state = net(get_input(), state) outputs.append(vocab[y]) for _ in range(num_preds): # 预测num_preds步 y, state = net(get_input(), state) pred = mx.argmax(y, axis=1).item() outputs.append(pred) return ''.join([vocab.idx_to_token[i] for i in outputs]) 现在我们可以测试\ ``predict_ch8``\ 函数。 我们将前缀指定为\ ``time traveller``\ ， 并基于这个前缀生成10个后续字符。 鉴于我们还没有训练网络，它会生成荒谬的预测结果。 .. raw:: latex \diilbookstyleinputcell .. code:: ipython3 predict_ch8('time traveller ', 10, net, vocab) .. raw:: latex \diilbookstyleoutputcell .. parsed-literal:: :class: output 'time traveller wlqqqqqqqq' 梯度裁剪 -------- 对于长度为\ :math:`T`\ 的序列，我们在迭代中计算这\ :math:`T`\ 个时间步上的梯度， 将会在反向传播过程中产生长度为\ :math:`\mathcal{O}(T)`\ 的矩阵乘法链。 如 :numref:`sec_numerical_stability`\ 所述， 当\ :math:`T`\ 较大时，它可能导致数值不稳定， 例如可能导致梯度爆炸或梯度消失。 因此，循环神经网络模型往往需要额外的方式来支持稳定训练。 一般来说，当解决优化问题时，我们对模型参数采用更新步骤。 假定在向量形式的\ :math:`\mathbf{x}`\ 中， 或者在小批量数据的负梯度\ :math:`\mathbf{g}`\ 方向上。 例如，使用\ :math:`\eta > 0`\ 作为学习率时，在一次迭代中， 我们将\ :math:`\mathbf{x}`\ 更新为\ :math:`\mathbf{x} - \eta \mathbf{g}`\ 。 如果我们进一步假设目标函数\ :math:`f`\ 表现良好， 即函数\ :math:`f`\ 在常数\ :math:`L`\ 下是\ *利普希茨连续的*\ （Lipschitz continuous）。 也就是说，对于任意\ :math:`\mathbf{x}`\ 和\ :math:`\mathbf{y}`\ 我们有： .. math:: |f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{y})| \leq L \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\|. 在这种情况下，我们可以安全地假设： 如果我们通过\ :math:`\eta \mathbf{g}`\ 更新参数向量，则 .. math:: |f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{x} - \eta\mathbf{g})| \leq L \eta\|\mathbf{g}\|, 这意味着我们不会观察到超过\ :math:`L \eta \|\mathbf{g}\|`\ 的变化。 这既是坏事也是好事。 坏的方面，它限制了取得进展的速度； 好的方面，它限制了事情变糟的程度，尤其当我们朝着错误的方向前进时。 有时梯度可能很大，从而优化算法可能无法收敛。 我们可以通过降低\ :math:`\eta`\ 的学习率来解决这个问题。 但是如果我们很少得到大的梯度呢？ 在这种情况下，这种做法似乎毫无道理。 一个流行的替代方案是通过将梯度\ :math:`\mathbf{g}`\ 投影回给定半径 （例如\ :math:`\theta`\ ）的球来裁剪梯度\ :math:`\mathbf{g}`\ 。 如下式： .. math:: \mathbf{g} \leftarrow \min\left(1, \frac{\theta}{\|\mathbf{g}\|}\right) \mathbf{g}. 通过这样做，我们知道梯度范数永远不会超过\ :math:`\theta`\ ， 并且更新后的梯度完全与\ :math:`\mathbf{g}`\ 的原始方向对齐。 它还有一个值得拥有的副作用， 即限制任何给定的小批量数据（以及其中任何给定的样本）对参数向量的影响， 这赋予了模型一定程度的稳定性。 梯度裁剪提供了一个快速修复梯度爆炸的方法， 虽然它并不能完全解决问题，但它是众多有效的技术之一。 下面我们定义一个函数来裁剪模型的梯度， 模型是从零开始实现的模型或由高级API构建的模型。 我们在此计算了所有模型参数的梯度的范数。 .. raw:: latex \diilbookstyleinputcell .. code:: ipython3 def grad_clipping(net, grads, theta): #@save """裁剪梯度""" if isinstance(net, nn.Module): clipped_grads, _ = optim.clip_grad_norm(grads, max_norm=theta) return clipped_grads else: norm_squared = tree_reduce(lambda acc, g: acc + g.square().sum(), grads, 0.0) total_norm = mx.sqrt(norm_squared) normalizer = theta / (total_norm + 1e-6) def clipper(g): return mx.where(total_norm < theta, g, g * normalizer) clipped_grads = tree_map(clipper, grads) return clipped_grads, total_norm 训练 ---- 在训练模型之前，让我们定义一个函数在一个迭代周期内训练模型。 它与我们训练 :numref:`sec_softmax_scratch`\ 模型的方式有三个不同之处。 1. 序列数据的不同采样方法（随机采样和顺序分区）将导致隐状态初始化的差异。 2. 我们在更新模型参数之前裁剪梯度。 这样的操作的目的是，即使训练过程中某个点上发生了梯度爆炸，也能保证模型不会发散。 3. 我们用困惑度来评价模型。如 :numref:`subsec_perplexity`\ 所述， 这样的度量确保了不同长度的序列具有可比性。 具体来说，当使用顺序分区时， 我们只在每个迭代周期的开始位置初始化隐状态。 由于下一个小批量数据中的第\ :math:`i`\ 个子序列样本 与当前第\ :math:`i`\ 个子序列样本相邻， 因此当前小批量数据最后一个样本的隐状态， 将用于初始化下一个小批量数据第一个样本的隐状态。 这样，存储在隐状态中的序列的历史信息 可以在一个迭代周期内流经相邻的子序列。 然而，在任何一点隐状态的计算， 都依赖于同一迭代周期中前面所有的小批量数据， 这使得梯度计算变得复杂。 为了降低计算量，在处理任何一个小批量数据之前， 我们先分离梯度，使得隐状态的梯度计算总是限制在一个小批量数据的时间步内。 当使用随机抽样时，因为每个样本都是在一个随机位置抽样的， 因此需要为每个迭代周期重新初始化隐状态。 与 :numref:`sec_softmax_scratch`\ 中的 ``train_epoch_ch3``\ 函数相同， ``updater``\ 是更新模型参数的常用函数。 它既可以是从头开始实现的\ ``d2l.sgd``\ 函数， 也可以是深度学习框架中内置的优化函数。 .. raw:: latex \diilbookstyleinputcell .. code:: ipython3 #@save def train_epoch_ch8(net, train_iter, loss, updater, use_random_iter): """训练网络一个迭代周期（定义见第8章）""" state, timer = None, d2l.Timer() metric = d2l.Accumulator(2) # 训练损失之和,词元数量 if isinstance(net, nn.Module): net.train(True) for X, y in train_iter: if state is None or use_random_iter: # 在第一次迭代或使用随机抽样时初始化state state = net.begin_state(batch_size=X.shape[0]) def loss_fn(net, X, state, y): y_hat, state = net(X, state) y = y.T.reshape((-1,)) return loss(y_hat, y, reduction="mean") loss_and_grad_fn = nn.value_and_grad(net, loss_fn) l, grad = loss_and_grad_fn(net, X, state, y) grad = grad_clipping(net, grad, 1) updater.update(net, grad) _,state = net(X, state) mx.eval(net.parameters()) metric.add(l.item() * y.size, y.size) return math.exp(metric[0] / metric[1]), metric[1] / timer.stop() 循环神经网络模型的训练函数既支持从零开始实现， 也可以使用高级API来实现。 .. raw:: latex \diilbookstyleinputcell .. code:: ipython3 #@save def train_ch8(net, train_iter, vocab, lr, num_epochs, use_random_iter=False): """训练模型（定义见第8章）""" loss = nn.losses.cross_entropy animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', ylabel='perplexity', legend=['train'], xlim=[10, num_epochs]) # 初始化 if isinstance(net, nn.Module): updater = optim.SGD(learning_rate=lr) else: updater = lambda batch_size: d2l.sgd(net.params, lr, batch_size) predict = lambda prefix: predict_ch8(prefix, 50, net, vocab) # 训练和预测 for epoch in range(num_epochs): ppl, speed = train_epoch_ch8(net, train_iter, loss, updater, use_random_iter) if (epoch + 1) % 10 == 0: print(predict('time traveller')) animator.add(epoch + 1, [ppl]) print(f'困惑度 {ppl:.1f}, {speed:.1f} 词元/秒') print(predict('time traveller')) print(predict('traveller')) 现在，我们训练循环神经网络模型。 因为我们在数据集中只使用了10000个词元， 所以模型需要更多的迭代周期来更好地收敛。 .. raw:: latex \diilbookstyleinputcell .. code:: ipython3 num_epochs, lr = 500, 1 train_ch8(net, train_iter, vocab, lr, num_epochs) .. raw:: latex \diilbookstyleoutputcell .. parsed-literal:: :class: output 困惑度 1.0, 73035.4 词元/秒 time traveller for so it will be convenient to speak of himwas e travelleryou can show black is white by argument said filby .. figure:: output_rnn-scratch_2cce6c_28_1.svg 最后，让我们检查一下使用随机抽样方法的结果。 .. raw:: latex \diilbookstyleinputcell .. code:: ipython3 net = RNNModelScratch(len(vocab), num_hiddens, get_params, init_rnn_state, rnn) train_ch8(net, train_iter, vocab, lr, num_epochs, use_random_iter=True) .. raw:: latex \diilbookstyleoutputcell .. parsed-literal:: :class: output 困惑度 1.4, 76566.8 词元/秒 time traveller held in his hand was a glitteringmetallic framewo travellerit s against reason said filbywhal uxoficby is all .. figure:: output_rnn-scratch_2cce6c_30_1.svg 从零开始实现上述循环神经网络模型， 虽然有指导意义，但是并不方便。 在下一节中，我们将学习如何改进循环神经网络模型。 例如，如何使其实现地更容易，且运行速度更快。 小结 ---- - 我们可以训练一个基于循环神经网络的字符级语言模型，根据用户提供的文本的前缀生成后续文本。 - 一个简单的循环神经网络语言模型包括输入编码、循环神经网络模型和输出生成。 - 循环神经网络模型在训练以前需要初始化状态，不过随机抽样和顺序划分使用初始化方法不同。 - 当使用顺序划分时，我们需要分离梯度以减少计算量。 - 在进行任何预测之前，模型通过预热期进行自我更新（例如，获得比初始值更好的隐状态）。 - 梯度裁剪可以防止梯度爆炸，但不能应对梯度消失。 练习 ---- 1. 尝试说明独热编码等价于为每个对象选择不同的嵌入表示。 2. 通过调整超参数（如迭代周期数、隐藏单元数、小批量数据的时间步数、学习率等）来改善困惑度。 - 困惑度可以降到多少？ - 用可学习的嵌入表示替换独热编码，是否会带来更好的表现？ - 如果用H.G.Wells的其他书作为数据集时效果如何， 例如\ `世界大战 `__\ ？ 3. 修改预测函数，例如使用采样，而不是选择最有可能的下一个字符。 - 会发生什么？ - 调整模型使之偏向更可能的输出，例如，当\ :math:`\alpha > 1`\ ，从\ :math:`q(x_t \mid x_{t-1}, \ldots, x_1) \propto P(x_t \mid x_{t-1}, \ldots, x_1)^\alpha`\ 中采样。 4. 在不裁剪梯度的情况下运行本节中的代码会发生什么？ 5. 更改顺序划分，使其不会从计算图中分离隐状态。运行时间会有变化吗？困惑度呢？ 6. 用ReLU替换本节中使用的激活函数，并重复本节中的实验。我们还需要梯度裁剪吗？为什么？