7.5. 汇聚层

通常当我们处理图像时，我们希望逐渐降低隐藏表示的空间分辨率、聚集信息，这样随着我们在神经网络中层叠的上升，每个神经元对其敏感的感受野（输入）就越大。

而我们的机器学习任务通常会跟全局图像的问题有关（例如，“图像是否包含一只猫呢？”），所以我们最后一层的神经元应该对整个输入的全局敏感。通过逐渐聚合信息，生成越来越粗糙的映射，最终实现学习全局表示的目标，同时将卷积图层的所有优势保留在中间层。

此外，当检测较底层的特征时（例如 7.2节中所讨论的边缘），我们通常希望这些特征保持某种程度上的平移不变性。例如，如果我们拍摄黑白之间轮廓清晰的图像X，并将整个图像向右移动一个像素，即Z[i, j] = X[i, j + 1]，则新图像Z的输出可能大不相同。而在现实中，随着拍摄角度的移动，任何物体几乎不可能发生在同一像素上。即使用三脚架拍摄一个静止的物体，由于快门的移动而引起的相机振动，可能会使所有物体左右移动一个像素（除了高端相机配备了特殊功能来解决这个问题）。

本节将介绍汇聚（pooling）层，它具有双重目的：降低卷积层对位置的敏感性，同时降低对空间降采样表示的敏感性。

7.5.1. 最大汇聚层和平均汇聚层

与卷积层类似，汇聚层运算符由一个固定形状的窗口组成，该窗口根据其步幅大小在输入的所有区域上滑动，为固定形状窗口（有时称为汇聚窗口）遍历的每个位置计算一个输出。 然而，不同于卷积层中的输入与卷积核之间的互相关计算，汇聚层不包含参数。 相反，池运算是确定性的，我们通常计算汇聚窗口中所有元素的最大值或平均值。这些操作分别称为最大汇聚层（maximum pooling）和平均汇聚层（average pooling）。

在这两种情况下，与互相关运算符一样，汇聚窗口从输入张量的左上角开始，从左往右、从上往下的在输入张量内滑动。在汇聚窗口到达的每个位置，它计算该窗口中输入子张量的最大值或平均值。计算最大值或平均值是取决于使用了最大汇聚层还是平均汇聚层。

../_images/pooling.svg

图7.5.1 汇聚窗口形状为 \(2\times 2\) 的最大汇聚层。着色部分是第一个输出元素，以及用于计算这个输出的输入元素: \(\max(0, 1, 3, 4)=4\).

图7.5.1中的输出张量的高度为\(2\)，宽度为\(2\)。这四个元素为每个汇聚窗口中的最大值：

(7.5.1)\[\begin{split}\max(0, 1, 3, 4)=4,\\ \max(1, 2, 4, 5)=5,\\ \max(3, 4, 6, 7)=7,\\ \max(4, 5, 7, 8)=8.\\\end{split}\]

汇聚窗口形状为\(p \times q\)的汇聚层称为\(p \times q\)汇聚层，汇聚操作称为\(p \times q\)汇聚。

回到本节开头提到的对象边缘检测示例，现在我们将使用卷积层的输出作为\(2\times 2\)最大汇聚的输入。 设置卷积层输入为X，汇聚层输出为Y。 无论X[i, j]和X[i, j + 1]的值相同与否，或X[i, j + 1]和X[i, j + 2]的值相同与否，汇聚层始终输出Y[i, j] = 1。 也就是说，使用\(2\times 2\)最大汇聚层，即使在高度或宽度上移动一个元素，卷积层仍然可以识别到模式。

在下面的代码中的pool2d函数，我们实现汇聚层的前向传播。 这类似于 7.2节中的corr2d函数。 然而，这里我们没有卷积核，输出为输入中每个区域的最大值或平均值。

import mlx.core as mx
import mlx.nn as nn
from d2l import mlx as d2l

def pool2d(X, pool_size, mode='max'):
    p_h, p_w = pool_size
    Y = mx.zeros((X.shape[0] - p_h + 1, X.shape[1] - p_w + 1))
    for i in range(Y.shape[0]):
        for j in range(Y.shape[1]):
            if mode == 'max':
                Y[i, j] = mx.max(X[i: i + p_h, j: j + p_w])
            elif mode == 'avg':
                Y[i, j] = mx.mean(X[i: i + p_h, j: j + p_w])
    return Y

我们可以构建 图7.5.1中的输入张量X，验证二维最大汇聚层的输出。

X = mx.array([[0.0, 1.0, 2.0], [3.0, 4.0, 5.0], [6.0, 7.0, 8.0]])
pool2d(X, (2, 2))

array([[4, 5],
       [7, 8]], dtype=float32)

此外，我们还可以验证平均汇聚层。

pool2d(X, (2, 2), 'avg')

array([[2, 3],
       [5, 6]], dtype=float32)

7.5.2. 填充和步幅

与卷积层一样，汇聚层也可以改变输出形状。和以前一样，我们可以通过填充和步幅以获得所需的输出形状。 下面，我们用深度学习框架中内置的二维最大汇聚层，来演示汇聚层中填充和步幅的使用。 我们首先构造了一个输入张量X，它有四个维度，其中样本数和通道数都是1。

X = mx.arange(16, dtype=mx.float32).reshape((1, 4, 4, 1))
X

array([[[[0],
         [1],
         [2],
         [3]],
        [[4],
         [5],
         [6],
         [7]],
        [[8],
         [9],
         [10],
         [11]],
        [[12],
         [13],
         [14],
         [15]]]], dtype=float32)

默认情况下，深度学习框架中的步幅与汇聚窗口的大小相同。 因此，如果我们使用形状为(3, 3)的汇聚窗口，那么默认情况下，我们得到的步幅形状为(3, 3)。

pool2d = nn.MaxPool2d(3)
pool2d(X)

array([[[[10]]]], dtype=float32)

填充和步幅可以手动设定。

pool2d = nn.MaxPool2d(3, padding=1, stride=2)
pool2d(X)

array([[[[5],
         [7]],
        [[13],
         [15]]]], dtype=float32)

pool2d = nn.MaxPool2d((2, 3), stride=(2, 3), padding=(0, 1))
pool2d(X)

array([[[[5],
         [7]],
        [[13],
         [15]]]], dtype=float32)

7.5.3. 多个通道

在处理多通道输入数据时，汇聚层在每个输入通道上单独运算，而不是像卷积层一样在通道上对输入进行汇总。 这意味着汇聚层的输出通道数与输入通道数相同。 下面，我们将在通道维度上连结张量X和X + 1，以构建具有2个通道的输入。

X = mx.concatenate((X, X + 1), -1)
print(X)

array([[[[0, 1],
         [1, 2],
         [2, 3],
         [3, 4]],
        [[4, 5],
         [5, 6],
         [6, 7],
         [7, 8]],
        [[8, 9],
         [9, 10],
         [10, 11],
         [11, 12]],
        [[12, 13],
         [13, 14],
         [14, 15],
         [15, 16]]]], dtype=float32)

如下所示，汇聚后输出通道的数量仍然是2。

pool2d = nn.MaxPool2d(3, padding=1, stride=2)
pool2d(X)

array([[[[5, 6],
         [7, 8]],
        [[13, 14],
         [15, 16]]]], dtype=float32)

7.5.4. 小结

  • 对于给定输入元素，最大汇聚层会输出该窗口内的最大值，平均汇聚层会输出该窗口内的平均值。

  • 汇聚层的主要优点之一是减轻卷积层对位置的过度敏感。

  • 我们可以指定汇聚层的填充和步幅。

  • 使用最大汇聚层以及大于1的步幅，可减少空间维度（如高度和宽度）。

  • 汇聚层的输出通道数与输入通道数相同。

7.5.5. 练习

  1. 尝试将平均汇聚层作为卷积层的特殊情况实现。

  2. 尝试将最大汇聚层作为卷积层的特殊情况实现。

  3. 假设汇聚层的输入大小为\(c\times h\times w\)，则汇聚窗口的形状为\(p_h\times p_w\)，填充为\((p_h, p_w)\)，步幅为\((s_h, s_w)\)。这个汇聚层的计算成本是多少？

  4. 为什么最大汇聚层和平均汇聚层的工作方式不同？

  5. 我们是否需要最小汇聚层？可以用已知函数替换它吗？

  6. 除了平均汇聚层和最大汇聚层，是否有其它函数可以考虑（提示：回想一下softmax）？为什么它不流行？