5.5. 权重衰减

前一节我们描述了过拟合的问题，本节我们将介绍一些正则化模型的技术。 我们总是可以通过去收集更多的训练数据来缓解过拟合。 但这可能成本很高，耗时颇多，或者完全超出我们的控制，因而在短期内不可能做到。 假设我们已经拥有尽可能多的高质量数据，我们便可以将重点放在正则化技术上。

回想一下，在多项式回归的例子（ 5.4节）中， 我们可以通过调整拟合多项式的阶数来限制模型的容量。 实际上，限制特征的数量是缓解过拟合的一种常用技术。 然而，简单地丢弃特征对这项工作来说可能过于生硬。 我们继续思考多项式回归的例子，考虑高维输入可能发生的情况。 多项式对多变量数据的自然扩展称为单项式（monomials）， 也可以说是变量幂的乘积。 单项式的阶数是幂的和。 例如，\(x_1^2 x_2\)和\(x_3 x_5^2\)都是3次单项式。

注意，随着阶数\(d\)的增长，带有阶数\(d\)的项数迅速增加。 给定\(k\)个变量，阶数为\(d\)的项的个数为 \({k - 1 + d} \choose {k - 1}\)，即\(C^{k-1}_{k-1+d} = \frac{(k-1+d)!}{(d)!(k-1)!}\)。 因此即使是阶数上的微小变化，比如从\(2\)到\(3\)，也会显著增加我们模型的复杂性。 仅仅通过简单的限制特征数量（在多项式回归中体现为限制阶数），可能仍然使模型在过简单和过复杂中徘徊， 我们需要一个更细粒度的工具来调整函数的复杂性，使其达到一个合适的平衡位置。 ## 范数与权重衰减

在 3.3.10节中， 我们已经描述了\(L_2\)范数和\(L_1\)范数， 它们是更为一般的\(L_p\)范数的特殊情况。

在训练参数化机器学习模型时， 权重衰减（weight decay）是最广泛使用的正则化的技术之一， 它通常也被称为\(L_2\)正则化。 这项技术通过函数与零的距离来衡量函数的复杂度， 因为在所有函数\(f\)中，函数\(f = 0\)（所有输入都得到值\(0\)） 在某种意义上是最简单的。 但是我们应该如何精确地测量一个函数和零之间的距离呢？ 没有一个正确的答案。 事实上，函数分析和巴拿赫空间理论的研究，都在致力于回答这个问题。

一种简单的方法是通过线性函数 \(f(\mathbf{x}) = \mathbf{w}^\top \mathbf{x}\) 中的权重向量的某个范数来度量其复杂性， 例如\(\| \mathbf{w} \|^2\)。 要保证权重向量比较小， 最常用方法是将其范数作为惩罚项加到最小化损失的问题中。 将原来的训练目标最小化训练标签上的预测损失， 调整为最小化预测损失和惩罚项之和。 现在，如果我们的权重向量增长的太大， 我们的学习算法可能会更集中于最小化权重范数\(\| \mathbf{w} \|^2\)。 这正是我们想要的。 让我们回顾一下 4.1节中的线性回归例子。 我们的损失由下式给出：

(5.5.1)\[L(\mathbf{w}, b) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{1}{2}\left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right)^2.\]

回想一下，\(\mathbf{x}^{(i)}\)是样本\(i\)的特征， \(y^{(i)}\)是样本\(i\)的标签， \((\mathbf{w}, b)\)是权重和偏置参数。 为了惩罚权重向量的大小， 我们必须以某种方式在损失函数中添加\(\| \mathbf{w} \|^2\)， 但是模型应该如何平衡这个新的额外惩罚的损失？ 实际上，我们通过正则化常数\(\lambda\)来描述这种权衡， 这是一个非负超参数，我们使用验证数据拟合：

(5.5.2)\[L(\mathbf{w}, b) + \frac{\lambda}{2} \|\mathbf{w}\|^2,\]

对于\(\lambda = 0\)，我们恢复了原来的损失函数。 对于\(\lambda > 0\)，我们限制\(\| \mathbf{w} \|\)的大小。 这里我们仍然除以\(2\)：当我们取一个二次函数的导数时， \(2\)和\(1/2\)会抵消，以确保更新表达式看起来既漂亮又简单。 为什么在这里我们使用平方范数而不是标准范数（即欧几里得距离）？ 我们这样做是为了便于计算。 通过平方\(L_2\)范数，我们去掉平方根，留下权重向量每个分量的平方和。 这使得惩罚的导数很容易计算：导数的和等于和的导数。

此外，为什么我们首先使用\(L_2\)范数，而不是\(L_1\)范数。 事实上，这个选择在整个统计领域中都是有效的和受欢迎的。 \(L_2\)正则化线性模型构成经典的岭回归（ridge regression）算法， \(L_1\)正则化线性回归是统计学中类似的基本模型， 通常被称为套索回归（lasso regression）。 使用\(L_2\)范数的一个原因是它对权重向量的大分量施加了巨大的惩罚。 这使得我们的学习算法偏向于在大量特征上均匀分布权重的模型。 在实践中，这可能使它们对单个变量中的观测误差更为稳定。 相比之下，\(L_1\)惩罚会导致模型将权重集中在一小部分特征上， 而将其他权重清除为零。 这称为特征选择（feature selection），这可能是其他场景下需要的。

使用与 (4.1.10)中的相同符号， \(L_2\)正则化回归的小批量随机梯度下降更新如下式：

(5.5.3)\[\begin{aligned} \mathbf{w} & \leftarrow \left(1- \eta\lambda \right) \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \mathbf{x}^{(i)} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right). \end{aligned}\]

根据之前章节所讲的，我们根据估计值与观测值之间的差异来更新\(\mathbf{w}\)。 然而，我们同时也在试图将\(\mathbf{w}\)的大小缩小到零。 这就是为什么这种方法有时被称为权重衰减。 我们仅考虑惩罚项，优化算法在训练的每一步衰减权重。 与特征选择相比，权重衰减为我们提供了一种连续的机制来调整函数的复杂度。 较小的\(\lambda\)值对应较少约束的\(\mathbf{w}\)， 而较大的\(\lambda\)值对\(\mathbf{w}\)的约束更大。

是否对相应的偏置\(b^2\)进行惩罚在不同的实践中会有所不同， 在神经网络的不同层中也会有所不同。 通常，网络输出层的偏置项不会被正则化。

5.5.1. 高维线性回归

我们通过一个简单的例子来演示权重衰减。

%matplotlib inline
import mlx
import mlx.core as mx
import mlx.nn as nn
import mlx.optimizers as optim
from d2l import mlx as d2l

首先，我们像以前一样生成一些数据，生成公式如下：

(5.5.4)\[y = 0.05 + \sum_{i = 1}^d 0.01 x_i + \epsilon \text{ where } \epsilon \sim \mathcal{N}(0, 0.01^2).\]

我们选择标签是关于输入的线性函数。 标签同时被均值为0，标准差为0.01高斯噪声破坏。 为了使过拟合的效果更加明显，我们可以将问题的维数增加到\(d = 200\)， 并使用一个只包含20个样本的小训练集。

n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5
true_w, true_b = mx.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)

5.5.2. 从零开始实现

下面我们将从头开始实现权重衰减，只需将\(L_2\)的平方惩罚添加到原始目标函数中。

5.5.2.1. 初始化模型参数

首先，我们将定义一个函数来随机初始化模型参数。

def init_params():
    w = mx.random.normal([num_inputs, 1], loc=0.0, scale=1.0)
    b = mx.zeros(1)
    return [w, b]

5.5.2.2. 定义\(L_2\)范数惩罚

实现这一惩罚最方便的方法是对所有项求平方后并将它们求和。

def l2_penalty(w):
    return mx.sum(mx.power(w,2)) / 2

5.5.2.3. 定义训练代码实现

下面的代码将模型拟合训练数据集，并在测试数据集上进行评估。 从 4节以来，线性网络和平方损失没有变化， 所以我们通过d2l.linreg和d2l.squared_loss导入它们。 唯一的变化是损失现在包括了惩罚项。

def train(lambd):
    params = init_params()
    net, loss = d2l.linreg, d2l.squared_loss
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for samples in train_iter:
            X, y = mx.array(samples["X"]), mx.array(samples["y"])
            # 增加了L2范数惩罚项，
            # 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为batch_size的向量
            def loss_fn(params):
                y_hat = net(X, params)
                return (loss(y_hat, y) + lambd * l2_penalty(params[0])).sum()
            loss_and_grad_fn = mx.value_and_grad(loss_fn)
            l, grad = loss_and_grad_fn(params)
            d2l.sgd(params, grad, lr, batch_size)
            mx.eval(params)

        train_iter.reset()

        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss, params),
                                     d2l.evaluate_loss(net, test_iter , loss, params)))

    print('w的L2范数是：', mx.linalg.norm(params[0]).item())

5.5.2.4. 忽略正则化直接训练

我们现在用lambd = 0禁用权重衰减后运行这个代码。 注意，这里训练误差有了减少，但测试误差没有减少， 这意味着出现了严重的过拟合。

train(lambd=0)

w的L2范数是： 13.860681533813477

5.5.2.5. 使用权重衰减

下面，我们使用权重衰减来运行代码。 注意，在这里训练误差增大，但测试误差减小。 这正是我们期望从正则化中得到的效果。

train(lambd=3)

w的L2范数是： 0.3325711786746979

5.5.3. 简洁实现

由于权重衰减在神经网络优化中很常用， 深度学习框架为了便于我们使用权重衰减， 将权重衰减集成到优化算法中，以便与任何损失函数结合使用。 此外，这种集成还有计算上的好处， 允许在不增加任何额外的计算开销的情况下向算法中添加权重衰减。 由于更新的权重衰减部分仅依赖于每个参数的当前值， 因此优化器必须至少接触每个参数一次。

在下面的代码中，我们在实例化优化器时直接通过weight_decay指定weight decay超参数。 默认情况下，MLX同时衰减权重和偏移。

def train_concise(wd):
    net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))
    params = net.parameters()
    weight_fn = nn.init.normal(mean=0.0, std=1.0)
    bias_fn = nn.init.constant(0.0)
    net.layers[0].weight = weight_fn(params["layers"][0]["weight"])
    net.layers[0].bias = bias_fn(params["layers"][0]["bias"])

    loss = nn.losses.mse_loss
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    # 偏置参数没有衰减
    updater = optim.SGD(learning_rate=lr, weight_decay=wd)
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for samples in d2l.load_array(train_data, batch_size):
            X, y = mx.array(samples["X"]), mx.array(samples["y"])
            def loss_fn(net, X, y):
                y_hat = net(X)
                return loss(y_hat, y, reduction='none').mean()
            loss_and_grad_fn = nn.value_and_grad(net, loss_fn)
            l, grad = loss_and_grad_fn(net, X, y)
            updater.update(net, grad)
            mx.eval(net.parameters())
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1,
                         (d2l.evaluate_loss(net, d2l.load_array(train_data, batch_size), loss, params=None),
                          d2l.evaluate_loss(net, d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False), loss, params=None)))
    print('w的L2范数：', mx.linalg.norm(net.layers[0].weight).item())

这些图看起来和我们从零开始实现权重衰减时的图相同。 然而，它们运行得更快，更容易实现。 对于更复杂的问题，这一好处将变得更加明显。

train_concise(0)

w的L2范数： 13.123032569885254

train_concise(3)

w的L2范数： 0.3443937301635742

到目前为止，我们只接触到一个简单线性函数的概念。 此外，由什么构成一个简单的非线性函数可能是一个更复杂的问题。 例如，再生核希尔伯特空间（RKHS） 允许在非线性环境中应用为线性函数引入的工具。 不幸的是，基于RKHS的算法往往难以应用到大型、高维的数据。 在这本书中，我们将默认使用简单的启发式方法，即在深层网络的所有层上应用权重衰减。

5.5.4. 小结

• 正则化是处理过拟合的常用方法：在训练集的损失函数中加入惩罚项，以降低学习到的模型的复杂度。

• 保持模型简单的一个特别的选择是使用\(L_2\)惩罚的权重衰减。这会导致学习算法更新步骤中的权重衰减。

• 权重衰减功能在深度学习框架的优化器中提供。

• 在同一训练代码实现中，不同的参数集可以有不同的更新行为。

5.5.5. 练习

1. 在本节的估计问题中使用\(\lambda\)的值进行实验。绘制训练和测试精度关于\(\lambda\)的函数。观察到了什么？

2. 使用验证集来找到最佳值\(\lambda\)。它真的是最优值吗？这有关系吗？

3. 如果我们使用\(\sum_i |w_i|\)作为我们选择的惩罚（\(L_1\)正则化），那么更新方程会是什么样子？

4. 我们知道\(\|\mathbf{w}\|^2 = \mathbf{w}^\top \mathbf{w}\)。能找到类似的矩阵方程吗（见 3.3.10节 中的Frobenius范数）？

5. 回顾训练误差和泛化误差之间的关系。除了权重衰减、增加训练数据、使用适当复杂度的模型之外，还能想出其他什么方法来处理过拟合？

6. 在贝叶斯统计中，我们使用先验和似然的乘积，通过公式\(P(w \mid x) \propto P(x \mid w) P(w)\)得到后验。如何得到带正则化的\(P(w)\)？