.. _sec_weight_decay: 权重衰减 ======== 前一节我们描述了过拟合的问题，本节我们将介绍一些正则化模型的技术。 我们总是可以通过去收集更多的训练数据来缓解过拟合。 但这可能成本很高，耗时颇多，或者完全超出我们的控制，因而在短期内不可能做到。 假设我们已经拥有尽可能多的高质量数据，我们便可以将重点放在正则化技术上。 回想一下，在多项式回归的例子（ :numref:`sec_model_selection`\ ）中， 我们可以通过调整拟合多项式的阶数来限制模型的容量。 实际上，限制特征的数量是缓解过拟合的一种常用技术。 然而，简单地丢弃特征对这项工作来说可能过于生硬。 我们继续思考多项式回归的例子，考虑高维输入可能发生的情况。 多项式对多变量数据的自然扩展称为\ *单项式*\ （monomials）， 也可以说是变量幂的乘积。 单项式的阶数是幂的和。 例如，\ :math:`x_1^2 x_2`\ 和\ :math:`x_3 x_5^2`\ 都是3次单项式。 注意，随着阶数\ :math:`d`\ 的增长，带有阶数\ :math:`d`\ 的项数迅速增加。 给定\ :math:`k`\ 个变量，阶数为\ :math:`d`\ 的项的个数为 :math:`{k - 1 + d} \choose {k - 1}`\ ，即\ :math:`C^{k-1}_{k-1+d} = \frac{(k-1+d)!}{(d)!(k-1)!}`\ 。 因此即使是阶数上的微小变化，比如从\ :math:`2`\ 到\ :math:`3`\ ，也会显著增加我们模型的复杂性。 仅仅通过简单的限制特征数量（在多项式回归中体现为限制阶数），可能仍然使模型在过简单和过复杂中徘徊， 我们需要一个更细粒度的工具来调整函数的复杂性，使其达到一个合适的平衡位置。 ## 范数与权重衰减 在 :numref:`subsec_lin-algebra-norms`\ 中， 我们已经描述了\ :math:`L_2`\ 范数和\ :math:`L_1`\ 范数， 它们是更为一般的\ :math:`L_p`\ 范数的特殊情况。 在训练参数化机器学习模型时， *权重衰减*\ （weight decay）是最广泛使用的正则化的技术之一， 它通常也被称为\ :math:`L_2`\ *正则化*\ 。 这项技术通过函数与零的距离来衡量函数的复杂度， 因为在所有函数\ :math:`f`\ 中，函数\ :math:`f = 0`\ （所有输入都得到值\ :math:`0`\ ） 在某种意义上是最简单的。 但是我们应该如何精确地测量一个函数和零之间的距离呢？ 没有一个正确的答案。 事实上，函数分析和巴拿赫空间理论的研究，都在致力于回答这个问题。 一种简单的方法是通过线性函数 :math:`f(\mathbf{x}) = \mathbf{w}^\top \mathbf{x}` 中的权重向量的某个范数来度量其复杂性， 例如\ :math:`\| \mathbf{w} \|^2`\ 。 要保证权重向量比较小， 最常用方法是将其范数作为惩罚项加到最小化损失的问题中。 将原来的训练目标\ *最小化训练标签上的预测损失*\ ， 调整为\ *最小化预测损失和惩罚项之和*\ 。 现在，如果我们的权重向量增长的太大， 我们的学习算法可能会更集中于最小化权重范数\ :math:`\| \mathbf{w} \|^2`\ 。 这正是我们想要的。 让我们回顾一下 :numref:`sec_linear_regression`\ 中的线性回归例子。 我们的损失由下式给出： .. math:: L(\mathbf{w}, b) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{1}{2}\left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right)^2. 回想一下，\ :math:`\mathbf{x}^{(i)}`\ 是样本\ :math:`i`\ 的特征， :math:`y^{(i)}`\ 是样本\ :math:`i`\ 的标签， :math:`(\mathbf{w}, b)`\ 是权重和偏置参数。 为了惩罚权重向量的大小， 我们必须以某种方式在损失函数中添加\ :math:`\| \mathbf{w} \|^2`\ ， 但是模型应该如何平衡这个新的额外惩罚的损失？ 实际上，我们通过\ *正则化常数*\ :math:`\lambda`\ 来描述这种权衡， 这是一个非负超参数，我们使用验证数据拟合： .. math:: L(\mathbf{w}, b) + \frac{\lambda}{2} \|\mathbf{w}\|^2, 对于\ :math:`\lambda = 0`\ ，我们恢复了原来的损失函数。 对于\ :math:`\lambda > 0`\ ，我们限制\ :math:`\| \mathbf{w} \|`\ 的大小。 这里我们仍然除以\ :math:`2`\ ：当我们取一个二次函数的导数时， :math:`2`\ 和\ :math:`1/2`\ 会抵消，以确保更新表达式看起来既漂亮又简单。 为什么在这里我们使用平方范数而不是标准范数（即欧几里得距离）？ 我们这样做是为了便于计算。 通过平方\ :math:`L_2`\ 范数，我们去掉平方根，留下权重向量每个分量的平方和。 这使得惩罚的导数很容易计算：导数的和等于和的导数。 此外，为什么我们首先使用\ :math:`L_2`\ 范数，而不是\ :math:`L_1`\ 范数。 事实上，这个选择在整个统计领域中都是有效的和受欢迎的。 :math:`L_2`\ 正则化线性模型构成经典的\ *岭回归*\ （ridge regression）算法， :math:`L_1`\ 正则化线性回归是统计学中类似的基本模型， 通常被称为\ *套索回归*\ （lasso regression）。 使用\ :math:`L_2`\ 范数的一个原因是它对权重向量的大分量施加了巨大的惩罚。 这使得我们的学习算法偏向于在大量特征上均匀分布权重的模型。 在实践中，这可能使它们对单个变量中的观测误差更为稳定。 相比之下，\ :math:`L_1`\ 惩罚会导致模型将权重集中在一小部分特征上， 而将其他权重清除为零。 这称为\ *特征选择*\ （feature selection），这可能是其他场景下需要的。 使用与 :eq:`eq_linreg_batch_update`\ 中的相同符号， :math:`L_2`\ 正则化回归的小批量随机梯度下降更新如下式： .. math:: \begin{aligned} \mathbf{w} & \leftarrow \left(1- \eta\lambda \right) \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \mathbf{x}^{(i)} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right). \end{aligned} 根据之前章节所讲的，我们根据估计值与观测值之间的差异来更新\ :math:`\mathbf{w}`\ 。 然而，我们同时也在试图将\ :math:`\mathbf{w}`\ 的大小缩小到零。 这就是为什么这种方法有时被称为\ *权重衰减*\ 。 我们仅考虑惩罚项，优化算法在训练的每一步\ *衰减*\ 权重。 与特征选择相比，权重衰减为我们提供了一种连续的机制来调整函数的复杂度。 较小的\ :math:`\lambda`\ 值对应较少约束的\ :math:`\mathbf{w}`\ ， 而较大的\ :math:`\lambda`\ 值对\ :math:`\mathbf{w}`\ 的约束更大。 是否对相应的偏置\ :math:`b^2`\ 进行惩罚在不同的实践中会有所不同， 在神经网络的不同层中也会有所不同。 通常，网络输出层的偏置项不会被正则化。 高维线性回归 ------------ 我们通过一个简单的例子来演示权重衰减。 .. raw:: latex \diilbookstyleinputcell .. code:: python %matplotlib inline import mlx import mlx.core as mx import mlx.nn as nn import mlx.optimizers as optim from d2l import mlx as d2l 首先，我们像以前一样生成一些数据，生成公式如下： .. math:: y = 0.05 + \sum_{i = 1}^d 0.01 x_i + \epsilon \text{ where } \epsilon \sim \mathcal{N}(0, 0.01^2). 我们选择标签是关于输入的线性函数。 标签同时被均值为0，标准差为0.01高斯噪声破坏。 为了使过拟合的效果更加明显，我们可以将问题的维数增加到\ :math:`d = 200`\ ， 并使用一个只包含20个样本的小训练集。 .. raw:: latex \diilbookstyleinputcell .. code:: python n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5 true_w, true_b = mx.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05 train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train) train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size) test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test) test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False) 从零开始实现 ------------ 下面我们将从头开始实现权重衰减，只需将\ :math:`L_2`\ 的平方惩罚添加到原始目标函数中。 初始化模型参数 ~~~~~~~~~~~~~~ 首先，我们将定义一个函数来随机初始化模型参数。 .. raw:: latex \diilbookstyleinputcell .. code:: python def init_params(): w = mx.random.normal([num_inputs, 1], loc=0.0, scale=1.0) b = mx.zeros(1) return [w, b] 定义\ :math:`L_2`\ 范数惩罚 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 实现这一惩罚最方便的方法是对所有项求平方后并将它们求和。 .. raw:: latex \diilbookstyleinputcell .. code:: python def l2_penalty(w): return mx.sum(mx.power(w,2)) / 2 定义训练代码实现 ~~~~~~~~~~~~~~~~ 下面的代码将模型拟合训练数据集，并在测试数据集上进行评估。 从 :numref:`chap_linear`\ 以来，线性网络和平方损失没有变化， 所以我们通过\ ``d2l.linreg``\ 和\ ``d2l.squared_loss``\ 导入它们。 唯一的变化是损失现在包括了惩罚项。 .. raw:: latex \diilbookstyleinputcell .. code:: python def train(lambd): params = init_params() net, loss = d2l.linreg, d2l.squared_loss num_epochs, lr = 100, 0.003 animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log', xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test']) for epoch in range(num_epochs): for samples in train_iter: X, y = mx.array(samples["X"]), mx.array(samples["y"]) # 增加了L2范数惩罚项， # 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为batch_size的向量 def loss_fn(params): y_hat = net(X, params) return (loss(y_hat, y) + lambd * l2_penalty(params[0])).sum() loss_and_grad_fn = mx.value_and_grad(loss_fn) l, grad = loss_and_grad_fn(params) d2l.sgd(params, grad, lr, batch_size) mx.eval(params) train_iter.reset() if (epoch + 1) % 5 == 0: animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss, params), d2l.evaluate_loss(net, test_iter , loss, params))) print('w的L2范数是：', mx.linalg.norm(params[0]).item()) 忽略正则化直接训练 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 我们现在用\ ``lambd = 0``\ 禁用权重衰减后运行这个代码。 注意，这里训练误差有了减少，但测试误差没有减少， 这意味着出现了严重的过拟合。 .. raw:: latex \diilbookstyleinputcell .. code:: python train(lambd=0) .. raw:: latex \diilbookstyleoutputcell .. parsed-literal:: :class: output w的L2范数是： 13.860681533813477 .. figure:: output_weight-decay_035474_11_1.svg 使用权重衰减 ~~~~~~~~~~~~ 下面，我们使用权重衰减来运行代码。 注意，在这里训练误差增大，但测试误差减小。 这正是我们期望从正则化中得到的效果。 .. raw:: latex \diilbookstyleinputcell .. code:: python train(lambd=3) .. raw:: latex \diilbookstyleoutputcell .. parsed-literal:: :class: output w的L2范数是： 0.3325711786746979 .. figure:: output_weight-decay_035474_13_1.svg 简洁实现 -------- 由于权重衰减在神经网络优化中很常用， 深度学习框架为了便于我们使用权重衰减， 将权重衰减集成到优化算法中，以便与任何损失函数结合使用。 此外，这种集成还有计算上的好处， 允许在不增加任何额外的计算开销的情况下向算法中添加权重衰减。 由于更新的权重衰减部分仅依赖于每个参数的当前值， 因此优化器必须至少接触每个参数一次。 在下面的代码中，我们在实例化优化器时直接通过\ ``weight_decay``\ 指定weight decay超参数。 默认情况下，MLX同时衰减权重和偏移。 .. raw:: latex \diilbookstyleinputcell .. code:: python def train_concise(wd): net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1)) params = net.parameters() weight_fn = nn.init.normal(mean=0.0, std=1.0) bias_fn = nn.init.constant(0.0) net.layers[0].weight = weight_fn(params["layers"][0]["weight"]) net.layers[0].bias = bias_fn(params["layers"][0]["bias"]) loss = nn.losses.mse_loss num_epochs, lr = 100, 0.003 # 偏置参数没有衰减 updater = optim.SGD(learning_rate=lr, weight_decay=wd) animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log', xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test']) for epoch in range(num_epochs): for samples in d2l.load_array(train_data, batch_size): X, y = mx.array(samples["X"]), mx.array(samples["y"]) def loss_fn(net, X, y): y_hat = net(X) return loss(y_hat, y, reduction='none').mean() loss_and_grad_fn = nn.value_and_grad(net, loss_fn) l, grad = loss_and_grad_fn(net, X, y) updater.update(net, grad) mx.eval(net.parameters()) if (epoch + 1) % 5 == 0: animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, d2l.load_array(train_data, batch_size), loss, params=None), d2l.evaluate_loss(net, d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False), loss, params=None))) print('w的L2范数：', mx.linalg.norm(net.layers[0].weight).item()) 这些图看起来和我们从零开始实现权重衰减时的图相同。 然而，它们运行得更快，更容易实现。 对于更复杂的问题，这一好处将变得更加明显。 .. raw:: latex \diilbookstyleinputcell .. code:: python train_concise(0) .. raw:: latex \diilbookstyleoutputcell .. parsed-literal:: :class: output w的L2范数： 13.123032569885254 .. figure:: output_weight-decay_035474_18_1.svg .. raw:: latex \diilbookstyleinputcell .. code:: python train_concise(3) .. raw:: latex \diilbookstyleoutputcell .. parsed-literal:: :class: output w的L2范数： 0.3443937301635742 .. figure:: output_weight-decay_035474_19_1.svg 到目前为止，我们只接触到一个简单线性函数的概念。 此外，由什么构成一个简单的非线性函数可能是一个更复杂的问题。 例如，\ `再生核希尔伯特空间（RKHS） `__ 允许在非线性环境中应用为线性函数引入的工具。 不幸的是，基于RKHS的算法往往难以应用到大型、高维的数据。 在这本书中，我们将默认使用简单的启发式方法，即在深层网络的所有层上应用权重衰减。 小结 ---- - 正则化是处理过拟合的常用方法：在训练集的损失函数中加入惩罚项，以降低学习到的模型的复杂度。 - 保持模型简单的一个特别的选择是使用\ :math:`L_2`\ 惩罚的权重衰减。这会导致学习算法更新步骤中的权重衰减。 - 权重衰减功能在深度学习框架的优化器中提供。 - 在同一训练代码实现中，不同的参数集可以有不同的更新行为。 练习 ---- 1. 在本节的估计问题中使用\ :math:`\lambda`\ 的值进行实验。绘制训练和测试精度关于\ :math:`\lambda`\ 的函数。观察到了什么？ 2. 使用验证集来找到最佳值\ :math:`\lambda`\ 。它真的是最优值吗？这有关系吗？ 3. 如果我们使用\ :math:`\sum_i |w_i|`\ 作为我们选择的惩罚（\ :math:`L_1`\ 正则化），那么更新方程会是什么样子？ 4. 我们知道\ :math:`\|\mathbf{w}\|^2 = \mathbf{w}^\top \mathbf{w}`\ 。能找到类似的矩阵方程吗（见 :numref:`subsec_lin-algebra-norms` 中的Frobenius范数）？ 5. 回顾训练误差和泛化误差之间的关系。除了权重衰减、增加训练数据、使用适当复杂度的模型之外，还能想出其他什么方法来处理过拟合？ 6. 在贝叶斯统计中，我们使用先验和似然的乘积，通过公式\ :math:`P(w \mid x) \propto P(x \mid w) P(w)`\ 得到后验。如何得到带正则化的\ :math:`P(w)`\ ？