12.10. 转置卷积¶
到目前为止，我们所见到的卷积神经网络层，例如卷积层（ 7.2节）和汇聚层（ 7.5节），通常会减少下采样输入图像的空间维度（高和宽）。 然而如果输入和输出图像的空间维度相同，在以像素级分类的语义分割中将会很方便。 例如，输出像素所处的通道维可以保有输入像素在同一位置上的分类结果。
为了实现这一点，尤其是在空间维度被卷积神经网络层缩小后，我们可以使用另一种类型的卷积神经网络层，它可以增加上采样中间层特征图的空间维度。 本节将介绍 转置卷积（transposed convolution） ()， 用于逆转下采样导致的空间尺寸减小。
import mlx.core as mx
import mlx.nn as nn
from d2l import mlx as d2l
12.10.1. 基本操作¶
让我们暂时忽略通道，从基本的转置卷积开始，设步幅为1且没有填充。 假设我们有一个\(n_h \times n_w\)的输入张量和一个\(k_h \times k_w\)的卷积核。 以步幅为1滑动卷积核窗口，每行\(n_w\)次，每列\(n_h\)次，共产生\(n_h n_w\)个中间结果。 每个中间结果都是一个\((n_h + k_h - 1) \times (n_w + k_w - 1)\)的张量，初始化为0。 为了计算每个中间张量，输入张量中的每个元素都要乘以卷积核，从而使所得的\(k_h \times k_w\)张量替换中间张量的一部分。 请注意，每个中间张量被替换部分的位置与输入张量中元素的位置相对应。 最后，所有中间结果相加以获得最终结果。
例如， 图12.10.1解释了如何为\(2\times 2\)的输入张量计算卷积核为\(2\times 2\)的转置卷积。
图12.10.1 卷积核为 \(2\times 2\) 的转置卷积。阴影部分是中间张量的一部分，也是用于计算的输入和卷积核张量元素。¶
我们可以对输入矩阵X和卷积核矩阵K实现基本的转置卷积运算trans_conv。
def trans_conv(X, K):
h, w = K.shape
Y = mx.zeros((X.shape[0] + h - 1, X.shape[1] + w - 1))
for i in range(X.shape[0]):
for j in range(X.shape[1]):
Y[i: i + h, j: j + w] += X[i, j] * K
return Y
与通过卷积核“减少”输入元素的常规卷积（在
7.2节中）相比，转置卷积通过卷积核“广播”输入元素，从而产生大于输入的输出。
我们可以通过
图12.10.1来构建输入张量X和卷积核张量K从而验证上述实现输出。
此实现是基本的二维转置卷积运算。
X = mx.array([[0.0, 1.0], [2.0, 3.0]])
K = mx.array([[0.0, 1.0], [2.0, 3.0]])
trans_conv(X, K)
array([[0, 0, 1],
[0, 4, 6],
[4, 12, 9]], dtype=float32)
或者，当输入X和卷积核K都是四维张量时，我们可以使用高级API获得相同的结果。
# the input format for MLX (nn.ConvTranspose2d) is NHWC
X, K = X.reshape(1, 2, 2, 1), K.reshape(1, 2, 2, 1)
tconv = nn.ConvTranspose2d(1, 1, kernel_size=2, bias=False)
tconv.weight = K
tconv(X)
array([[[[0],
[0],
[1]],
[[0],
[4],
[6]],
[[4],
[12],
[9]]]], dtype=float32)
12.10.2. 填充、步幅和多通道¶
与常规卷积不同，在转置卷积中，填充被应用于的输出（常规卷积将填充应用于输入）。 例如，当将高和宽两侧的填充数指定为1时，转置卷积的输出中将删除第一和最后的行与列。
tconv = nn.ConvTranspose2d(1, 1, kernel_size=2, padding=1, bias=False)
tconv.weight = K
tconv(X)
array([[[[4]]]], dtype=float32)
在转置卷积中，步幅被指定为中间结果（输出），而不是输入。 使用 图12.10.1中相同输入和卷积核张量，将步幅从1更改为2会增加中间张量的高和权重，因此输出张量在 图12.10.2中。
图12.10.2 卷积核为\(2\times 2\)，步幅为2的转置卷积。阴影部分是中间张量的一部分，也是用于计算的输入和卷积核张量元素。¶
以下代码可以验证 图12.10.2中步幅为2的转置卷积的输出。
tconv = nn.ConvTranspose2d(1, 1, kernel_size=2, stride=2, bias=False)
tconv.weight = K
tconv(X)
array([[[[0],
[0],
[0],
[1]],
[[0],
[0],
[2],
[3]],
[[0],
[2],
[0],
[3]],
[[4],
[6],
[6],
[9]]]], dtype=float32)
对于多个输入和输出通道，转置卷积与常规卷积以相同方式运作。 假设输入有\(c_i\)个通道，且转置卷积为每个输入通道分配了一个\(k_h\times k_w\)的卷积核张量。 当指定多个输出通道时，每个输出通道将有一个\(c_i\times k_h\times k_w\)的卷积核。
同样，如果我们将\(\mathsf{X}\)代入卷积层\(f\)来输出\(\mathsf{Y}=f(\mathsf{X})\)，并创建一个与\(f\)具有相同的超参数、但输出通道数量是\(\mathsf{X}\)中通道数的转置卷积层\(g\)，那么\(g(Y)\)的形状将与\(\mathsf{X}\)相同。 下面的示例可以解释这一点。
# for MLX, the image format is NHWC
X = mx.random.normal(shape=(1, 16, 16, 10))
conv = nn.Conv2d(10, 20, kernel_size=5, padding=2, stride=3)
tconv = nn.ConvTranspose2d(20, 10, kernel_size=5, padding=2, stride=3)
tconv(conv(X)).shape == X.shape
True
12.10.3. 与矩阵变换的联系¶
转置卷积为何以矩阵变换命名呢？
让我们首先看看如何使用矩阵乘法来实现卷积。
在下面的示例中，我们定义了一个\(3\times 3\)的输入X和\(2\times 2\)卷积核K，然后使用corr2d函数计算卷积输出Y。
X = mx.arange(9.0).reshape(3, 3)
K = mx.array([[1.0, 2.0], [3.0, 4.0]])
Y = d2l.corr2d(X, K)
Y
array([[27, 37],
[57, 67]], dtype=float32)
接下来，我们将卷积核K重写为包含大量0的稀疏权重矩阵W。
权重矩阵的形状是（\(4\)，\(9\)），其中非0元素来自卷积核K。
def kernel2matrix(K):
k, W = mx.zeros(5), mx.zeros((4, 9))
k[:2], k[3:5] = K[0, :], K[1, :]
W[0, :5], W[1, 1:6], W[2, 3:8], W[3, 4:] = k, k, k, k
return W
W = kernel2matrix(K)
W
array([[1, 2, 0, ..., 0, 0, 0],
[0, 1, 2, ..., 0, 0, 0],
[0, 0, 0, ..., 3, 4, 0],
[0, 0, 0, ..., 0, 3, 4]], dtype=float32)
逐行连结输入X，获得了一个长度为9的矢量。
然后，W的矩阵乘法和向量化的X给出了一个长度为4的向量。
重塑它之后，可以获得与上面的原始卷积操作所得相同的结果Y：我们刚刚使用矩阵乘法实现了卷积。
Y == mx.matmul(W, X.reshape(-1)).reshape(2, 2)
array([[True, True],
[True, True]], dtype=bool)
同样，我们可以使用矩阵乘法来实现转置卷积。
在下面的示例中，我们将上面的常规卷积\(2 \times 2\)的输出Y作为转置卷积的输入。
想要通过矩阵相乘来实现它，我们只需要将权重矩阵W的形状转置为\((9, 4)\)。
Z = trans_conv(Y, K)
Z == mx.matmul(W.T, Y.reshape(-1)).reshape(3, 3)
array([[True, True, True],
[True, True, True],
[True, True, True]], dtype=bool)
抽象来看，给定输入向量\(\mathbf{x}\)和权重矩阵\(\mathbf{W}\)，卷积的前向传播函数可以通过将其输入与权重矩阵相乘并输出向量\(\mathbf{y}=\mathbf{W}\mathbf{x}\)来实现。 由于反向传播遵循链式法则和\(\nabla_{\mathbf{x}}\mathbf{y}=\mathbf{W}^\top\)，卷积的反向传播函数可以通过将其输入与转置的权重矩阵\(\mathbf{W}^\top\)相乘来实现。 因此，转置卷积层能够交换卷积层的正向传播函数和反向传播函数：它的正向传播和反向传播函数将输入向量分别与\(\mathbf{W}^\top\)和\(\mathbf{W}\)相乘。
12.10.4. 小结¶
与通过卷积核减少输入元素的常规卷积相反，转置卷积通过卷积核广播输入元素，从而产生形状大于输入的输出。
如果我们将\(\mathsf{X}\)输入卷积层\(f\)来获得输出\(\mathsf{Y}=f(\mathsf{X})\)并创造一个与\(f\)有相同的超参数、但输出通道数是\(\mathsf{X}\)中通道数的转置卷积层\(g\)，那么\(g(Y)\)的形状将与\(\mathsf{X}\)相同。
我们可以使用矩阵乘法来实现卷积。转置卷积层能够交换卷积层的正向传播函数和反向传播函数。