.. _sec_transposed_conv: 转置卷积 ======== 到目前为止，我们所见到的卷积神经网络层，例如卷积层（ :numref:`sec_conv_layer`\ ）和汇聚层（ :numref:`sec_pooling`\ ），通常会减少下采样输入图像的空间维度（高和宽）。 然而如果输入和输出图像的空间维度相同，在以像素级分类的语义分割中将会很方便。 例如，输出像素所处的通道维可以保有输入像素在同一位置上的分类结果。 为了实现这一点，尤其是在空间维度被卷积神经网络层缩小后，我们可以使用另一种类型的卷积神经网络层，它可以增加上采样中间层特征图的空间维度。 本节将介绍 *转置卷积*\ （transposed convolution） :cite:`Dumoulin.Visin.2016`\ ， 用于逆转下采样导致的空间尺寸减小。 .. raw:: latex \diilbookstyleinputcell .. code:: ipython3 import mlx.core as mx import mlx.nn as nn from d2l import mlx as d2l 基本操作 -------- 让我们暂时忽略通道，从基本的转置卷积开始，设步幅为1且没有填充。 假设我们有一个\ :math:`n_h \times n_w`\ 的输入张量和一个\ :math:`k_h \times k_w`\ 的卷积核。 以步幅为1滑动卷积核窗口，每行\ :math:`n_w`\ 次，每列\ :math:`n_h`\ 次，共产生\ :math:`n_h n_w`\ 个中间结果。 每个中间结果都是一个\ :math:`(n_h + k_h - 1) \times (n_w + k_w - 1)`\ 的张量，初始化为0。 为了计算每个中间张量，输入张量中的每个元素都要乘以卷积核，从而使所得的\ :math:`k_h \times k_w`\ 张量替换中间张量的一部分。 请注意，每个中间张量被替换部分的位置与输入张量中元素的位置相对应。 最后，所有中间结果相加以获得最终结果。 例如， :numref:`fig_trans_conv`\ 解释了如何为\ :math:`2\times 2`\ 的输入张量计算卷积核为\ :math:`2\times 2`\ 的转置卷积。 .. _fig_trans_conv: .. figure:: ../img/trans_conv.svg 卷积核为 :math:`2\times 2` 的转置卷积。阴影部分是中间张量的一部分，也是用于计算的输入和卷积核张量元素。 我们可以对输入矩阵\ ``X``\ 和卷积核矩阵\ ``K``\ 实现基本的转置卷积运算\ ``trans_conv``\ 。 .. raw:: latex \diilbookstyleinputcell .. code:: ipython3 def trans_conv(X, K): h, w = K.shape Y = mx.zeros((X.shape[0] + h - 1, X.shape[1] + w - 1)) for i in range(X.shape[0]): for j in range(X.shape[1]): Y[i: i + h, j: j + w] += X[i, j] * K return Y 与通过卷积核“减少”输入元素的常规卷积（在 :numref:`sec_conv_layer`\ 中）相比，转置卷积通过卷积核“广播”输入元素，从而产生大于输入的输出。 我们可以通过 :numref:`fig_trans_conv`\ 来构建输入张量\ ``X``\ 和卷积核张量\ ``K``\ 从而验证上述实现输出。 此实现是基本的二维转置卷积运算。 .. raw:: latex \diilbookstyleinputcell .. code:: ipython3 X = mx.array([[0.0, 1.0], [2.0, 3.0]]) K = mx.array([[0.0, 1.0], [2.0, 3.0]]) trans_conv(X, K) .. raw:: latex \diilbookstyleoutputcell .. parsed-literal:: :class: output array([[0, 0, 1], [0, 4, 6], [4, 12, 9]], dtype=float32) 或者，当输入\ ``X``\ 和卷积核\ ``K``\ 都是四维张量时，我们可以使用高级API获得相同的结果。 .. raw:: latex \diilbookstyleinputcell .. code:: ipython3 # the input format for MLX (nn.ConvTranspose2d) is NHWC X, K = X.reshape(1, 2, 2, 1), K.reshape(1, 2, 2, 1) tconv = nn.ConvTranspose2d(1, 1, kernel_size=2, bias=False) tconv.weight = K tconv(X) .. raw:: latex \diilbookstyleoutputcell .. parsed-literal:: :class: output array([[[[0], [0], [1]], [[0], [4], [6]], [[4], [12], [9]]]], dtype=float32) 填充、步幅和多通道 ------------------ 与常规卷积不同，在转置卷积中，填充被应用于的输出（常规卷积将填充应用于输入）。 例如，当将高和宽两侧的填充数指定为1时，转置卷积的输出中将删除第一和最后的行与列。 .. raw:: latex \diilbookstyleinputcell .. code:: ipython3 tconv = nn.ConvTranspose2d(1, 1, kernel_size=2, padding=1, bias=False) tconv.weight = K tconv(X) .. raw:: latex \diilbookstyleoutputcell .. parsed-literal:: :class: output array([[[[4]]]], dtype=float32) 在转置卷积中，步幅被指定为中间结果（输出），而不是输入。 使用 :numref:`fig_trans_conv`\ 中相同输入和卷积核张量，将步幅从1更改为2会增加中间张量的高和权重，因此输出张量在 :numref:`fig_trans_conv_stride2`\ 中。 .. _fig_trans_conv_stride2: .. figure:: ../img/trans_conv_stride2.svg 卷积核为\ :math:`2\times 2`\ ，步幅为2的转置卷积。阴影部分是中间张量的一部分，也是用于计算的输入和卷积核张量元素。 以下代码可以验证 :numref:`fig_trans_conv_stride2`\ 中步幅为2的转置卷积的输出。 .. raw:: latex \diilbookstyleinputcell .. code:: ipython3 tconv = nn.ConvTranspose2d(1, 1, kernel_size=2, stride=2, bias=False) tconv.weight = K tconv(X) .. raw:: latex \diilbookstyleoutputcell .. parsed-literal:: :class: output array([[[[0], [0], [0], [1]], [[0], [0], [2], [3]], [[0], [2], [0], [3]], [[4], [6], [6], [9]]]], dtype=float32) 对于多个输入和输出通道，转置卷积与常规卷积以相同方式运作。 假设输入有\ :math:`c_i`\ 个通道，且转置卷积为每个输入通道分配了一个\ :math:`k_h\times k_w`\ 的卷积核张量。 当指定多个输出通道时，每个输出通道将有一个\ :math:`c_i\times k_h\times k_w`\ 的卷积核。 同样，如果我们将\ :math:`\mathsf{X}`\ 代入卷积层\ :math:`f`\ 来输出\ :math:`\mathsf{Y}=f(\mathsf{X})`\ ，并创建一个与\ :math:`f`\ 具有相同的超参数、但输出通道数量是\ :math:`\mathsf{X}`\ 中通道数的转置卷积层\ :math:`g`\ ，那么\ :math:`g(Y)`\ 的形状将与\ :math:`\mathsf{X}`\ 相同。 下面的示例可以解释这一点。 .. raw:: latex \diilbookstyleinputcell .. code:: ipython3 # for MLX, the image format is NHWC X = mx.random.normal(shape=(1, 16, 16, 10)) conv = nn.Conv2d(10, 20, kernel_size=5, padding=2, stride=3) tconv = nn.ConvTranspose2d(20, 10, kernel_size=5, padding=2, stride=3) tconv(conv(X)).shape == X.shape .. raw:: latex \diilbookstyleoutputcell .. parsed-literal:: :class: output True .. _subsec-connection-to-mat-transposition: 与矩阵变换的联系 ---------------- 转置卷积为何以矩阵变换命名呢？ 让我们首先看看如何使用矩阵乘法来实现卷积。 在下面的示例中，我们定义了一个\ :math:`3\times 3`\ 的输入\ ``X``\ 和\ :math:`2\times 2`\ 卷积核\ ``K``\ ，然后使用\ ``corr2d``\ 函数计算卷积输出\ ``Y``\ 。 .. raw:: latex \diilbookstyleinputcell .. code:: ipython3 X = mx.arange(9.0).reshape(3, 3) K = mx.array([[1.0, 2.0], [3.0, 4.0]]) Y = d2l.corr2d(X, K) Y .. raw:: latex \diilbookstyleoutputcell .. parsed-literal:: :class: output array([[27, 37], [57, 67]], dtype=float32) 接下来，我们将卷积核\ ``K``\ 重写为包含大量0的稀疏权重矩阵\ ``W``\ 。 权重矩阵的形状是（\ :math:`4`\ ，\ :math:`9`\ ），其中非0元素来自卷积核\ ``K``\ 。 .. raw:: latex \diilbookstyleinputcell .. code:: ipython3 def kernel2matrix(K): k, W = mx.zeros(5), mx.zeros((4, 9)) k[:2], k[3:5] = K[0, :], K[1, :] W[0, :5], W[1, 1:6], W[2, 3:8], W[3, 4:] = k, k, k, k return W W = kernel2matrix(K) W .. raw:: latex \diilbookstyleoutputcell .. parsed-literal:: :class: output array([[1, 2, 0, ..., 0, 0, 0], [0, 1, 2, ..., 0, 0, 0], [0, 0, 0, ..., 3, 4, 0], [0, 0, 0, ..., 0, 3, 4]], dtype=float32) 逐行连结输入\ ``X``\ ，获得了一个长度为9的矢量。 然后，\ ``W``\ 的矩阵乘法和向量化的\ ``X``\ 给出了一个长度为4的向量。 重塑它之后，可以获得与上面的原始卷积操作所得相同的结果\ ``Y``\ ：我们刚刚使用矩阵乘法实现了卷积。 .. raw:: latex \diilbookstyleinputcell .. code:: ipython3 Y == mx.matmul(W, X.reshape(-1)).reshape(2, 2) .. raw:: latex \diilbookstyleoutputcell .. parsed-literal:: :class: output array([[True, True], [True, True]], dtype=bool) 同样，我们可以使用矩阵乘法来实现转置卷积。 在下面的示例中，我们将上面的常规卷积\ :math:`2 \times 2`\ 的输出\ ``Y``\ 作为转置卷积的输入。 想要通过矩阵相乘来实现它，我们只需要将权重矩阵\ ``W``\ 的形状转置为\ :math:`(9, 4)`\ 。 .. raw:: latex \diilbookstyleinputcell .. code:: ipython3 Z = trans_conv(Y, K) Z == mx.matmul(W.T, Y.reshape(-1)).reshape(3, 3) .. raw:: latex \diilbookstyleoutputcell .. parsed-literal:: :class: output array([[True, True, True], [True, True, True], [True, True, True]], dtype=bool) 抽象来看，给定输入向量\ :math:`\mathbf{x}`\ 和权重矩阵\ :math:`\mathbf{W}`\ ，卷积的前向传播函数可以通过将其输入与权重矩阵相乘并输出向量\ :math:`\mathbf{y}=\mathbf{W}\mathbf{x}`\ 来实现。 由于反向传播遵循链式法则和\ :math:`\nabla_{\mathbf{x}}\mathbf{y}=\mathbf{W}^\top`\ ，卷积的反向传播函数可以通过将其输入与转置的权重矩阵\ :math:`\mathbf{W}^\top`\ 相乘来实现。 因此，转置卷积层能够交换卷积层的正向传播函数和反向传播函数：它的正向传播和反向传播函数将输入向量分别与\ :math:`\mathbf{W}^\top`\ 和\ :math:`\mathbf{W}`\ 相乘。 小结 ---- - 与通过卷积核减少输入元素的常规卷积相反，转置卷积通过卷积核广播输入元素，从而产生形状大于输入的输出。 - 如果我们将\ :math:`\mathsf{X}`\ 输入卷积层\ :math:`f`\ 来获得输出\ :math:`\mathsf{Y}=f(\mathsf{X})`\ 并创造一个与\ :math:`f`\ 有相同的超参数、但输出通道数是\ :math:`\mathsf{X}`\ 中通道数的转置卷积层\ :math:`g`\ ，那么\ :math:`g(Y)`\ 的形状将与\ :math:`\mathsf{X}`\ 相同。 - 我们可以使用矩阵乘法来实现卷积。转置卷积层能够交换卷积层的正向传播函数和反向传播函数。 练习 ---- 1. 在 :numref:`subsec-connection-to-mat-transposition`\ 中，卷积输入\ ``X``\ 和转置的卷积输出\ ``Z``\ 具有相同的形状。他们的数值也相同吗？为什么？ 2. 使用矩阵乘法来实现卷积是否有效率？为什么？