.. _sec_softmax_concise:

softmax回归的简洁实现
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在 :numref:`sec_linear_concise`\ 中，
我们发现通过深度学习框架的高级API能够使实现 线性回归变得更加容易。
同样，通过深度学习框架的高级API也能更方便地实现softmax回归模型。
本节如在 :numref:`sec_softmax_scratch`\ 中一样，
继续使用Fashion-MNIST数据集，并保持批量大小为256。

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    import mlx.core as mx
    import mlx.nn as nn
    import mlx.optimizers as optim
    from d2l import mlx as d2l

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    batch_size = 256
    train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)

初始化模型参数
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如我们在 :numref:`sec_softmax`\ 所述，
softmax回归的输出层是一个全连接层。 因此，为了实现我们的模型，
我们只需在\ ``Sequential``\ 中添加一个带有10个输出的全连接层。
同样，在这里\ ``Sequential``\ 并不是必要的， 但它是实现深度模型的基础。
我们仍然以均值0和标准差0.01随机初始化权重。

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    # implement Flatten layer for MLX
    class Flatten(nn.Module): #@save
        def __init__(self, start_axis=1, end_axis=-1):
            super().__init__()
            self.start_axis = start_axis
            self.end_axis = end_axis
    
        def __call__(self, x):
            return mx.flatten(x, start_axis=self.start_axis, end_axis=self.end_axis)
    
    class Net(nn.Module):
        def __init__(self):
            super().__init__()
            self.net =nn.Sequential(Flatten(),
                                    nn.Linear(784, 10)
                                    )
    
            def init_fn(array):
                weight_fn = nn.init.normal(mean=0.0, std=0.01)
                bias_fn = nn.init.constant(0.0)
                if array.ndim > 1:
                    array = weight_fn(array)
                else:
                    array = bias_fn(array)
                return array
    
            for module in self.modules():
                if isinstance(module, nn.Linear):
                    module.apply(init_fn)
    
        def __call__(self, x):
            x = self.net(x)
            return x
    
    
    
    net = Net()
    # evaluate all parameters to initialize the model
    mx.eval(net.parameters())

.. _subsec_softmax-implementation-revisited:

重新审视Softmax的实现
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在前面 :numref:`sec_softmax_scratch`\ 的例子中，
我们计算了模型的输出，然后将此输出送入交叉熵损失。
从数学上讲，这是一件完全合理的事情。
然而，从计算角度来看，指数可能会造成数值稳定性问题。

回想一下，softmax函数\ :math:`\hat y_j = \frac{\exp(o_j)}{\sum_k \exp(o_k)}`\ ，
其中\ :math:`\hat y_j`\ 是预测的概率分布。
:math:`o_j`\ 是未规范化的预测\ :math:`\mathbf{o}`\ 的第\ :math:`j`\ 个元素。
如果\ :math:`o_k`\ 中的一些数值非常大，
那么\ :math:`\exp(o_k)`\ 可能大于数据类型容许的最大数字，即\ *上溢*\ （overflow）。
这将使分母或分子变为\ ``inf``\ （无穷大），
最后得到的是0、\ ``inf``\ 或\ ``nan``\ （不是数字）的\ :math:`\hat y_j`\ 。
在这些情况下，我们无法得到一个明确定义的交叉熵值。

解决这个问题的一个技巧是：
在继续softmax计算之前，先从所有\ :math:`o_k`\ 中减去\ :math:`\max(o_k)`\ 。
这里可以看到每个\ :math:`o_k`\ 按常数进行的移动不会改变softmax的返回值：

.. math::


   \begin{aligned}
   \hat y_j & =  \frac{\exp(o_j - \max(o_k))\exp(\max(o_k))}{\sum_k \exp(o_k - \max(o_k))\exp(\max(o_k))} \\
   & = \frac{\exp(o_j - \max(o_k))}{\sum_k \exp(o_k - \max(o_k))}.
   \end{aligned}

在减法和规范化步骤之后，可能有些\ :math:`o_j - \max(o_k)`\ 具有较大的负值。
由于精度受限，\ :math:`\exp(o_j - \max(o_k))`\ 将有接近零的值，即\ *下溢*\ （underflow）。
这些值可能会四舍五入为零，使\ :math:`\hat y_j`\ 为零，
并且使得\ :math:`\log(\hat y_j)`\ 的值为\ ``-inf``\ 。
反向传播几步后，我们可能会发现自己面对一屏幕可怕的\ ``nan``\ 结果。

尽管我们要计算指数函数，但我们最终在计算交叉熵损失时会取它们的对数。
通过将softmax和交叉熵结合在一起，可以避免反向传播过程中可能会困扰我们的数值稳定性问题。
如下面的等式所示，我们避免计算\ :math:`\exp(o_j - \max(o_k))`\ ，
而可以直接使用\ :math:`o_j - \max(o_k)`\ ，因为\ :math:`\log(\exp(\cdot))`\ 被抵消了。

.. math::


   \begin{aligned}
   \log{(\hat y_j)} & = \log\left( \frac{\exp(o_j - \max(o_k))}{\sum_k \exp(o_k - \max(o_k))}\right) \\
   & = \log{(\exp(o_j - \max(o_k)))}-\log{\left( \sum_k \exp(o_k - \max(o_k)) \right)} \\
   & = o_j - \max(o_k) -\log{\left( \sum_k \exp(o_k - \max(o_k)) \right)}.
   \end{aligned}

我们也希望保留传统的softmax函数，以备我们需要评估通过模型输出的概率。
但是，我们没有将softmax概率传递到损失函数中，
而是在交叉熵损失函数中传递未规范化的预测，并同时计算softmax及其对数，
这是一种类似\ `“LogSumExp技巧” <https://en.wikipedia.org/wiki/LogSumExp>`__\ 的聪明方式。

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    loss = nn.losses.cross_entropy

优化算法
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在这里，我们使用学习率为0.1的小批量随机梯度下降作为优化算法。
这与我们在线性回归例子中的相同，这说明了优化器的普适性。

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    trainer = optim.SGD(learning_rate=0.1)

训练
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接下来我们调用 :numref:`sec_softmax_scratch`\ 中
定义的训练函数来训练模型。

.. raw:: latex

   \diilbookstyleinputcell

.. code:: python

    num_epochs = 10
    d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer, batch_size, params=None)



.. figure:: output_softmax-regression-concise_6f3d57_10_0.svg


和以前一样，这个算法使结果收敛到一个相当高的精度，而且这次的代码比之前更精简了。

小结
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-  使用深度学习框架的高级API，我们可以更简洁地实现softmax回归。
-  从计算的角度来看，实现softmax回归比较复杂。在许多情况下，深度学习框架在这些著名的技巧之外采取了额外的预防措施，来确保数值的稳定性。这使我们避免了在实践中从零开始编写模型时可能遇到的陷阱。

练习
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1. 尝试调整超参数，例如批量大小、迭代周期数和学习率，并查看结果。
2. 增加迭代周期的数量。为什么测试精度会在一段时间后降低？我们怎么解决这个问题？